如圖，已知拋物線，過點P（2，0）作斜率分別為的兩條直線，與拋物線相交於點A、B和C、D，且M、N分別是AB、...

問題詳情：

如圖，已知拋物線，過點P（2，0）作斜率分別為的兩條直線，與拋物線相交於點A、B和C、D，且M、N分別是AB、CD的中點.

（1）若，，求線段MN的長；

（2）若，求△PMN面積的最小值．

【回答】

解：（1）設A（x1，y1），B（x2，y2），不妨設y1＞0，則

設直線AB的方程為y=k1（x﹣2），代入y2=4x，可得y2﹣y﹣8=0  ∴y1+y2=，y1y2=﹣8，

∵，∴y1=﹣2y2，∴y1=4，y2=﹣2，

∴yM=1，∵k1+k2=0，

∴線段AB和CD關於x軸對稱，∴線段MN的長為2；

（2）∵k1•k2=﹣1，∴兩直線互相垂直，

設AB：x=my+2，則CD：x=﹣y+2，

x=my+2代入y2=4x，得y2﹣4my﹣8=0，則y1+y2=4m，y1y2=﹣8，

∴M（2m2+2，2m）．同理N（+2，﹣），

∴|PM|=2|m|•，|PN|=•，|

∴S△PMN=|PM||PN|=（m2+1）=2（|m|+）≥4，

若且唯若m=±1時取等號，

∴△PMN面積的最小值為4．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題