已知拋物線y2=ax（a＞0），過動點P（m，0）且斜率為1的直線與該拋物線交於不同的兩點A，B，|AB|≤a...

問題詳情：

已知拋物線y2=ax（a＞0），過動點P（m，0）且斜率為1的直線與該拋物線交於不同的兩點A，B，|AB|≤a．

（1）求m的取值範圍；

（2）若線段AB的垂直平分線交x軸於點Q，求△QAB面積的最大值．

【回答】

【考點】拋物線的簡單*質．

【分析】（1）設出直線的方程與拋物線方程聯立消去y，設直線l與拋物線兩個不同的交點座標為A，B，進而根據判別是對大於0，及x1+x2的和x1x2的表達式，求得AB的長度的表達式，根據|AB|的範圍確定a的範圍

（2）求出線段AB的垂直平分線方程，得Q的座標，進而表示出△NAB的面積，根據|AB|範圍確定三角形面積的最大值．

【解答】解：（1）設直線l的方程為y=x﹣m代入y2=ax，

得y2﹣ay﹣am=0．

設直線l與拋物線兩個不同的交點座標為A（x1，y1）、B（x2，y2），

△=a2﹣4（﹣am）＞0，∴m＞﹣，

y1+y2=a，y1y2=﹣am，

|AB|=≤a，∴m，

∴﹣＜m；

（2）由（1）線段AB的中點座標為（+m，），

線段AB的垂直平分線方程為y﹣=﹣（x﹣﹣m），

令y=0，可得Q（m+a，0），

Q到AB的距離d=，

∴△QAB面積S=≤=，

∴△QAB面積的最大值為．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題