問題詳情:
已知拋物線y2=2px(p>0),過動點M(a,0)且斜率為1的直線l與該拋物線交於不同的兩點A、B,且|AB|≤2p.
(1)求a的取值範圍.
(2)若線段AB的垂直平分線交x軸於點N,求△NAB面積的最大值.
【回答】
解析:(1)設直線l的方程為:y=x-a,代入拋物線方程得(x-a)2=2px,即x2-2(a+p)x+a2=0
∴|AB|=≤2p.∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤-p2
又∵p>0,∴a≤-.
(2)設A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中點C(x,y),
由(1)知,y1=x1-a,y2=x2-a,x1+x2=2a+2p,
則有x==p.
∴線段AB的垂直平分線的方程為y-p=-(x-a-p),從而N點座標為(a+2p,0)
點N到AB的距離為。
從而S△NAB=
當a有最大值-時,S有最大值為p2。
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題