如圖，在平面直角座標系中，四邊形OABC的邊OC在x軸上，OA在y軸上．O為座標原點，AB//OC，線段OA，...

問題詳情：

如圖，在平面直角座標系中，四邊形OABC的邊OC在x軸上，OA在y軸上．O為座標原點，AB//OC，線段OA，AB的長分別是方程x2－9x+20=0的兩個根（OA<AB）, tan∠OCB=．

（1）求點B，C的座標；

（2）P為OA上一點，Q為OC上一點，OQ=5，將∆POQ翻折，使點O落在AB上的點處，雙曲線的一個分支過點．求k的值；

（3）在（2）的條件下，M為座標軸上一點，在平面內是否存在點N，使以，Q，M，N為頂點四邊形為矩形？若存在，請直接寫出點N的座標；若不存在，請説明理由．

【回答】

（1）點B的座標為（5，4），點C的座標為（8，0）；（2）k=8 ；（3）存在．，，，．

【解析】

（1）解一元二次方程得到OA=4， AB=5，過點B作BD⊥OC於點D，求出OD、OC的長即可求解；

（2）根據翻折的*質即可求解；

（3）分類討論，以，Q為邊時和以，Q為對角線時，在前兩問的基礎上先確定點M的座標，進而確定點N的座標．

【詳解】

（1）解方程：x2-9x+20=0，得x1=4， x2=5，

∵OA<AB，

∴OA=4， AB=5，

過點B作BD⊥OC於點D，

∵tan∠OCB=，BD=OA=4，OD=AB=5，

∴CD=3，

∴OC=8，

 ∴點B的座標為（5，4），點C的座標為（8，0）；

（2）∵AB//OC， OQ=AB=5，∠AOQ=90º，

∴四邊形AOQB為矩形，

∴BQ=OA=4，由翻折，得OQ==5，

∴=3，

∴A=2，

∴(2, 4)，

∴；

（3）存在．

①以，Q為邊時，點M的座標為或或，當點M的座標為時，點N的座標為；當點M的座標為時，點N的座標為；當點M的座標為時，點N的座標為；

②以，Q為對角線時，點M的座標為，此時點N的座標為，

綜上所述，點N的座標為：，，，．

【點睛】

本題考查的是矩形的判定、解一元二次方程、求反比例函數的解析式等內容，熟練掌握矩形的判定與*質是解題的關鍵．

知識點：特殊的平行四邊形

題型：解答題