問題詳情:
如圖,在平面直角座標系xOy中,直線y=﹣x+4與x軸、y軸分別交於點A、點B,點D在y軸的負半軸上,若將△DAB沿直線AD摺疊,點B恰好落在x軸正半軸上的點C處.
(1)求AB的長;
(2)求點C和點D的座標;
(3)y軸上是否存在一點P,使得S△PAB=S△OCD?若存在,直接寫出點P的座標;若不存在,請説明理由.
【回答】
(1)AB=5;(2)C(8,0);D(0.﹣6);(3)P點的座標為(0,12)或(0,﹣4).
【分析】
(1)根據一次函數與座標軸的交點可求出點A、B的座標,然後根據勾股定理即可求出AB;
(2)根據摺疊的*質可得AB=AC,從而求出點C的座標,設OD=x,則CD=DB=x+4,在Rt△OCD中,由勾股定理可求出x,從而可得點D的座標;
(3)由S△PAB=S△OCD,可得S△PAB=12,又因為點P在y軸上,從而可求出BP的長,進而求得點P的座標.
【詳解】
解:(1)令x=0得:y=4,
∴B(0,4),
∴OB=4,
令y=0得:0=﹣x+4,解得:x=3,
∴A(3,0),
∴OA=3,
在Rt△OAB中,AB==5;
(2)∵AB=AC,
∴OC=OA+AC=3+5=8,
∴C(8,0).
設OD=x,則CD=DB=x+4.
在Rt△OCD中,DC2=OD2+OC2,即(x+4)2=x2+82,解得:x=6,
∴D(0,﹣6).
(3)∵S△PAB=S△OCD,
∴S△PAB=××6×8=12.
∵點P在y軸上,S△PAB=12,
∴BP•OA=12,即×3BP=12,解得:BP=8,
∴P點的座標為(0,12)或(0,﹣4).
【點睛】
一次函數與座標軸交點的綜合是本題的考點,用到了勾股定理、摺疊的*質、三角形的面積公式等知識點,熟練掌握基礎知識並正確運用勾股定理和摺疊的*質是解題的關鍵.
知識點:一次函數
題型:解答題