如圖，在平面直角座標系中，正方形OABC的邊長為4，邊OA，OC分別在x軸，y軸的正半軸上，把正方形OABC的...

問題詳情：

如圖，在平面直角座標系中，正方形OABC的邊長為4，邊OA，OC分別在x軸，y軸的正半軸上，把正方形OABC的內部及邊上，橫、縱座標均為整數的點稱為好點．點P為拋物線y＝﹣（x﹣m）2+m+2的頂點．

（1）當m＝0時，求該拋物線下方（包括邊界）的好點個數．

（2）當m＝3時，求該拋物線上的好點座標．

（3）若點P在正方形OABC內部，該拋物線下方（包括邊界）恰好存在8個好點，求m的取值範圍．

【回答】

【分析】（1）如圖1中，當m＝0時，二次函數的表達式y＝﹣x2+2，畫出函數圖象，利用圖象法解決問題即可．

（2）如圖2中，當m＝3時，二次函數解析式為y＝﹣（x﹣3）2+5，如圖2，結合圖象即可解決問題．

（3）如圖3中，∵拋物線的頂點P（m，m+2），推出拋物線的頂點P在直線y＝x+2上，由點P在正方形內部，則0＜m＜2，如圖3中，E（2，1），F（2，2），觀察圖象可知，當點P在正方形OABC內部，該拋物線下方（包括邊界）恰好存在8個好點時，拋物線與線段EF有交點（點F除外），求出拋物線經過點E或點F時Dm的值，即可判斷．

【解答】解：（1）如圖1中，當m＝0時，二次函數的表達式y＝﹣x2+2，函數圖象如圖1所示．

∵當x＝0時，y＝2，當x＝1時，y＝1，

∴拋物線經過點（0，2）和（1，1），

觀察圖象可知：好點有：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），共5個．

（2）如圖2中，當m＝3時，二次函數解析式為y＝﹣（x﹣3）2+5．如圖2．

∵當x＝1時，y＝1，當x＝2時，y＝4，當x＝4時，y＝4，

∴拋物線經過（1，1），（2，4），（4，4），

共線圖象可知，拋物線上存在好點，座標分別為（1，1），（2，4），（4，4）．

（3）如圖3中，∵拋物線的頂點P（m，m+2），

∴拋物線的頂點P在直線y＝x+2上，

∵點P在正方形內部，則0＜m＜2，

如圖3中，E（2，1），F（2，2），觀察圖象可知，當點P在正方形OABC內部，該拋物線下方（包括邊界）恰好存在8個好點時，拋物線與線段EF有交點（點F除外），

當拋物線經過點E時，﹣（2﹣m）2+m+2＝1，

解得m＝或（捨棄），

當拋物線經過點F時，﹣（2﹣m）2+m+2＝2，

解得m＝1或4（捨棄），

∴當≤m＜1時，頂點P在正方形OABC內部，該拋物線下方（包括邊界）恰好存在8個好點．

【點評】本題屬於二次函數綜合題，考查了正方形的*質，二次函數的*質，好點的定義等知識，解題的關鍵是理解題意，學會正確畫出圖象，利用圖象法解決問題，學會利用特殊點解決問題，屬於中考壓軸題．

知識點：各地中考

題型：解答題