已知，如圖，在平面直角座標系xOy中，點A、B、C分別為座標軸上的三個點，且OA=1，OB=3，OC=4．（1...

問題詳情：

已知，如圖，在平面直角座標系xOy中，點A、B、C分別為座標軸上的三個點，

且OA=1，OB=3，OC=4．

（1）求經過A、B、C三點的拋物線的解析式及頂點座標；

（2）在拋物線上是否存在一點P，使△ACP的面積等於△ACB的面積？若存在，請求出點P的座標；若不存在，請説明理由；

（3）在平面直角座標系xOy中是否存在一點Q，使得以點A、B、C、Q為頂點的四邊形為菱形？若存在，請求出點Q的座標；若不存在，請説明理由．

【回答】

解：（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，

∵A（1，0）、B（0，3）、C（﹣4，0），

∴

解得：a=，b=，c=3，

∴經過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=x2x+3；

∵y=x2x+3=(x+)2+

∴拋物線的頂點座標是（）

（2）在拋物線上存在一點P，使△ACP的面積等於△ACB的面積，理由為：

設點P的座標為P(m，n)，

∵S△ACB =×5×3=， S△ACP =×5×︱n︱

∴×5×︱n︱=，n=±3

∴當n=3時，x2x+3=3，解得x1=0，x2=-3

當n=-3時，x2x+3=-3，解得x1=，x2=

∴P的座標為P 1(-3，3)，P 2(，-3)，P3(，-3)

（3）在平面直角座標系xOy中存在一點Q，使得以點A、B、C、Q為頂點的四邊形為菱形，理由為：

∵OB=3，OC=4，OA=1，

∴BC=AC=5，

當BQ平行且等於AC時，四邊形ACBP為菱形，

∴BQ=AC=5，且點P到x軸的距離等於OB，

∴點Q的座標為（5，3），

當點Q在第二、三象限時，以點A、B、C、Q為頂點的四邊形只能是平行四邊形，不是菱形，

則當點Q的座標為（5，3）時，以點A、B、C、Q為頂點的四邊形為菱形.

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題