【問題發現】      如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，若B，D，E在同一直線上，連接AE．（1）請...

問題詳情：

【問題發現】

       如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，若B，D，E在同一直線上，連接AE．

（1）請你在圖中找出一個與△AEC全等的三角形：　　；

（2）∠AEB的度數為　　；CE，AE，BE的數量關係為　　．

【拓展探究】

        如圖2，△ACB是等腰直角三角形，∠AEB=90°，連接CE，過點C作CD⊥CE，交BE於點D，試探究CE，AE，BE的數量關係，並説明理由．

【解決問題】

        如圖3，在正方形ABCD中，CD=5，點P為正方形ABCD外一點，∠APC=90°，且AP=6，試求點P到CD的距離．

【回答】

【考點】LO：四邊形綜合題．

【分析】【問題發現】（1）根據等邊三角形的*質、全等三角形的判定定理*△AEC≌△BDC；

（2）根據△AEC≌△BDC，得到∠AEC=∠CDB=120°，計算即可；

【拓展探究】*△AEC≌△BDC，得到△ECD是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的*質計算；

【解決問題】分點P在AD上方、點P在AB的左側兩種情況，根據相似三角形的*質計算．

【解答】解：【問題發現】（1）△AEC≌△BDC，

*：∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，

∴∠ECD=∠ACB=60°，

∴∠ECA=∠DCB，

在△AEC和△BDC中，

，

∴△AEC≌△BDC，

故*為：△BDC；

（2）∠CDB=180°﹣∠CDE=120°，

∵△AEC≌△BDC，

∴∠AEC=∠CDB=120°，AE=BD，

∴∠AEB=60°，

BE=DE+BD=CE+AE；

故*為：60°；CE+AE=BE；

【拓展探究】∵CD⊥CE，∠ACB=90°，

∴∠ECA=∠DCB，

∵∠AEB=90°，∠ACB=90°，

∴A、E、C、B四點共圓，

∴∠EAC=∠DBC，

在△AEC和△BDC中，

，

∴△AEC≌△BDC，

∴AE=BD，CE=CD，

∴△ECD是等腰直角三角形，

∴ED=CE，

∴BE=DE+BD=CE+AE；

【解決問題】當點P在AD上方時，連接AC、PD，作PH⊥CD交AD的延長線於H，

∵AD=5，

∴AC=10，

則PC==8，

由拓展探究可知，PD==，

∵PH∥AD，

∴∠DPH=∠ADP，

∴∠DPH=∠ACP，

∴PH=PD×=；

當點P在AB的左側時，同理PH=．

知識點：勾股定理

題型：綜合題