如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的頂點A在△ECD的斜邊DE上，若...

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問題詳情：

如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的頂點A在△ECD的斜邊DE上，若AE= ，AD= ，則兩個三角形重疊部分的面積為（）

A. B. C. D.

【回答】

【考點】三角形的面積，全等三角形的判定與*質，勾股定理，相似三角形的判定與*質，等腰直角三角形

【解析】【解答】解：連接BD，作CH⊥DE， ∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形， ∴∠ACB=∠ECD=90°,∠ADC=∠CAB=45°, 即∠ACD+∠DCB=∠ACD+∠ACE=90°， ∴∠DCB=∠ACE，在△DCB和△ECA中， , ∴△DCB≌△ECA， ∴DB=EA= ,∠CDB=∠E=45°, ∴∠CDB+∠ADC=∠ADB=90°，在Rt△ABD中， ∴AB= =2 ，在Rt△ABC中， ∴2AC2=AB2=8， ∴AC=BC=2，在Rt△ECD中， ∴2CD2=DE2= ， ∴CD=CE= +1， ∵∠ACO=∠DCA，∠CAO=∠CDA， ∴△CAO∽△CDA， ∴ ： = = =4-2 ，又∵ = CE = DE·CH， ∴CH= = ， ∴ = AD·CH= × × = ， ∴ =（4-2 ）× =3- . 即兩個三角形重疊部分的面積為3- . 故*為：D. 【分析】解：連接BD，作CH⊥DE，根據等腰直角三角形的*質可得∠ACB=∠ECD=90°,∠ADC=∠CAB=45°,再由同角的餘角相等可得∠DCB=∠ACE；由SAS得△DCB≌△ECA，根據全等三角形的*質知DB=EA= ,∠CDB=∠E=45°,從而得∠ADB=90°，在Rt△ABD中，根據勾股定理得AB=2 ，同理可得AC=BC=2，CD=CE= +1；由相似三角形的判定得△CAO∽△CDA，根據相似三角形的*質：面積比等於相似比的平方從而得出兩個三角形重疊部分的面積.