問題詳情:
設f(x)=a(x﹣5)2+6lnx,其中a∈R,曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與y軸相交於點(0,6).
(1)確定a的值;
(2)求函數f(x)的單調區間與極值.
【回答】
【考點】6B:利用導數研究函數的單調*;6C:函數在某點取得極值的條件;6H:利用導數研究曲線上某點切線方程.
【分析】(1)先由所給函數的表達式,求導數fˊ(x),再根據導數的幾何意義求出切線的斜率,最後由曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與y軸相交於點(0,6)列出方程求a的值即可;
(2)由(1)求出的原函數及其導函數,求出導函數的零點,把函數的定義域分段,判斷導函數在各段內的符號,從而得到原函數的單調區間,根據在各區間內的單調*求出極值點,把極值點的橫座標代入函數解析式求得函數的極值.
【解答】解:(1)因f(x)=a(x﹣5)2+6lnx,故f′(x)=2a(x﹣5)+,(x>0),
令x=1,得f(1)=16a,f′(1)=6﹣8a,
∴曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y﹣16a=(6﹣8a)(x﹣1),
由切線與y軸相交於點(0,6).
∴6﹣16a=8a﹣6,
∴a=.
(2)由(I)得f(x)=(x﹣5)2+6lnx,(x>0),
f′(x)=(x﹣5)+=,令f′(x)=0,得x=2或x=3,
當0<x<2或x>3時,f′(x)>0,故f(x)在(0,2),(3,+∞)上為增函數,
當2<x<3時,f′(x)<0,故f(x)在(2,3)上為減函數,
故f(x)在x=2時取得極大值f(2)=+6ln2,在x=3時取得極小值f(3)=2+6ln3.
知識點:導數及其應用
題型:解答題