如圖，在矩形中，，點D是邊的中點，反比例函數的圖象經過點D，交邊於點E，直線的解析式為．（1）求反比例函數的解...

問題詳情：

如圖，在矩形中，，點D是邊的中點，反比例函數的圖象經過點D，交邊於點E，直線的解析式為．

（1）求反比例函數的解析式和直線的解析式；

（2）在y軸上找一點P，使的周長最小，求出此時點P的座標；

（3）在（2）的條件下，的周長最小值是______．

【回答】

（1），；（2）點P座標為；（3）．

【解析】

（1）首先求出D點座標，然後將D點座標代入反比例解析式，求出k即可得到反比例函數的解析式.將x=2代入反比例函數解析式求出對應y的值，即得到E點的座標，然後將點D,E兩點的座標代入一次函數的解析式中，即可求出DE的解析式.

(2)作點D關於y軸的對稱點，連接，交y軸於點P，連接．此時的周長最小.然後求出直線的解析式，求直線與y軸的交點座標，即可得出P點的座標；

（3）的周長的最小值為DE+，分別利用勾股定理兩條線段的長，即可求.

【詳解】

解：（1）∵D為的中點，，

∴．

∵四邊形是矩形，，

∴D點座標為．

∵在的圖象上，

∴．∴反比例函數解析式為．

當時，．

∴E點座標為．

∵直線過點和點

∴

解得

∴直線的解析式為．

∴反比例函數解析式為，

直線的解析式為．

（2）作點D關於y軸的對稱點，連接，交y軸於點P，連接．

此時的周長最小．∵點D的座標為，

∴點的座標為．

設直線的解析式為．

∵直線經過

∴

解得

∴直線的解析式為．

令，得．

∴點P座標為．

（3）由（1）(2)知D（1，4），E（2，2），(-1,4).又B(2,4),

∴BD=1,BE=2,B=3.

在Rt△BDE中，由勾股定理，得DE==.

在Rt△BE中，由勾股定理，得E==.

的周長的最小值為+DE =．

【點睛】

本題主要考查了反比例函數與一次函數的交點問題，矩形的*質，待定係數法求反比例函數和一次函數的解析式，軸對稱的最短路徑問題等，難度適中，正確的求出解析式和找到周長最小時的點P是解題的關鍵.

知識點：反比例函數

題型：解答題