如圖，在直角座標系中，已知點B（4，0），等邊三角形OAB的頂點A在反比例函數y＝的圖象上．（1）求反比例函數...

問題詳情：

如圖，在直角座標系中，已知點B（4，0），等邊三角形OAB的頂點A在反比例函數y＝的圖象上．

（1）求反比例函數的表達式．

（2）把△OAB向右平移a個單位長度，對應得到△O'A'B'當這個函數圖象經過△O'A'B'一邊的中點時，求a的值．

【回答】

【分析】（1）過點A作AC⊥OB於點C，根據等邊三角形的*質得出點A座標，用待定係數法求得反比例函數的解析式即可；

（2）分兩種情況討論：①反比例函數圖象過AB的中點；②反比例函數圖象過AO的中點．分別過中點作x軸的垂線，再根據30°角所對的直角邊是斜邊的一半得出中點的縱座標，代入反比例函數的解析式得出中點座標，再根據平移的法則得出a的值即可．

【解答】解：（1）過點A作AC⊥OB於點C，

∵△OAB是等邊三角形，

∴∠AOB＝60°，OC＝OB，

∵B（4，0），

∴OB＝OA＝4，

∴OC＝2，AC＝2．

把點A（2，2）代入y＝，得k＝4．

∴反比例函數的解析式為y＝；

（2）分兩種情況討論：

①點D是A′B′的中點，過點D作DE⊥x軸於點E．

由題意得A′B′＝4，∠A′B′E＝60°，

在Rt△DEB′中，B′D＝2，DE＝，B′E＝1．

∴O′E＝3，

把y＝代入y＝，得x＝4，

∴OE＝4，

∴a＝OO′＝1；

②如圖3，點F是A′O′的中點，過點F作FH⊥x軸於點H．

由題意得A′O′＝4，∠A′O′B′＝60°，

在Rt△FO′H中，FH＝，O′H＝1．

把y＝代入y＝，得x＝4，

∴OH＝4，

∴a＝OO′＝3，

綜上所述，a的值為1或3．

【點評】本題考查了用待定係數法求反比例函數的解析式，掌握直角三角形、等邊三角形的*質以及分類討論思想是解題的關鍵．

知識點：各地中考

題型：解答題