問題詳情:
在△ABC中,AB=BC,點O是AC的中點,點P是AC上的一個動點(點P不與點A,O,C重合).過點A,點C作直線BP的垂線,垂足分別為點E和點F,連接OE,OF
(1)如圖1,請直接寫出線段OE與OF的數量關係;
(2)如圖2,當∠ABC=90°時,請判斷線段OE與OF之間的數量關係和位置關係,並説明理由
(3)若|CF﹣AE|=2,EF=2,當△POF為等腰三角形時,請直接寫出線段OP的長.
【回答】
(1)OF =OE;(2)OF⊥EK,OF=OE,理由見解析;(3)OP的長為或.
【解析】(1)如圖1中,延長EO交CF於K,*△AOE≌△COK,從而可得OE=OK,再根據直角三角形斜邊中線等於斜邊一半即可得OF=OE;
(2)如圖2中,延長EO交CF於K,由已知*△ABE≌△BCF,△AOE≌△COK,繼而可*得△EFK是等腰直角三角形,由等腰直角三角形的*質即可得OF⊥EK,OF=OE;
(3)分點P在AO上與CO上兩種情況分別畫圖進行解答即可得.
【詳解】(1)如圖1中,延長EO交CF於K,
∵AE⊥BE,CF⊥BE,∴AE∥CK,∴∠EAO=∠KCO,
∵OA=OC,∠AOE=∠COK,∴△AOE≌△COK,∴OE=OK,
∵△EFK是直角三角形,∴OF=EK=OE;
(2)如圖2中,延長EO交CF於K,
∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°,
∴∠ABE+∠BAE=90°,∠ABE+∠CBF=90°,∴∠BAE=∠CBF,
∵AB=BC,∴△ABE≌△BCF,∴BE=CF,AE=BF,
∵△AOE≌△COK,∴AE=CK,OE=OK,∴FK=EF,
∴△EFK是等腰直角三角形,∴OF⊥EK,OF=OE;
(3)如圖3中,點P在線段AO上,延長EO交CF於K,作PH⊥OF於H,
∵|CF﹣AE|=2,EF=2,AE=CK,∴FK=2,
在Rt△EFK中,tan∠FEK=,∴∠FEK=30°,∠EKF=60°,
∴EK=2FK=4,OF=EK=2,
∵△OPF是等腰三角形,觀察圖形可知,只有OF=FP=2,
在Rt△PHF中,PH=PF=1,HF=,OH=2﹣,
∴OP=.
如圖4中,點P在線段OC上,當PO=PF時,∠POF=∠PFO=30°,
∴∠BOP=90°,
∴OP=OE=,
綜上所述:OP的長為或.
【點睛】本題考查了全等三角形的判定與*質、直角三角形斜邊中線等於斜邊一半、等腰直角三角形的判定與*質、解直角三角形等,綜合*較強,正確添加輔助線是解題的關鍵.
知識點:三角形全等的判定
題型:解答題