問題詳情:
三稜錐A BCD及其側視圖、俯視圖如圖14所示.設M,N分別為線段AD,AB的中點,P為線段BC上的點,且MN⊥NP.
(1)*:P是線段BC的中點;
(2)求二面角A NP M的餘弦值.
圖14
【回答】
解:(1)如圖所示,取BD的中點O,連接AO,CO.
由側視圖及俯視圖知,△ABD,△BCD為正三角形,
所以AO⊥BD,OC⊥BD.
因為AO,OC⊂平面AOC,且AO∩OC=O,
所以BD⊥平面AOC.
又因為AC⊂平面AOC,所以BD⊥AC.
取BO的中點H,連接NH,PH.
又M,N,H分別為線段AD,AB,BO的中點,所以MN∥BD,NH∥AO,
因為AO⊥BD,所以NH⊥BD.
因為MN⊥NP,所以NP⊥BD.
因為NH,NP⊂平面NHP,且NH∩NP=N,所以BD⊥平面NHP.
又因為HP⊂平面NHP,所以BD⊥HP.
又OC⊥BD,HP⊂平面BCD,OC⊂平面BCD,所以HP∥OC.
因為H為BO的中點,所以P為BC的中點.
(2)方法一:如圖所示,作NQ⊥AC於Q,連接MQ.
由(1)知,NP∥AC,所以NQ⊥NP.
因為MN⊥NP,所以∠MNQ為二面角A NP M的一個平面角.
由(1)知,△ABD,△BCD為邊長為2的正三角形,所以AO=OC=.
由俯視圖可知,AO⊥平面BCD.
因為OC⊂平面BCD,所以AO⊥OC,因此在等腰直角△AOC中,AC=.
作BR⊥AC於R
因為在△ABC中,AB=BC,所以R為AC的中點,
所以BR==.
因為在平面ABC內,NQ⊥AC,BR⊥AC,
所以NQ∥BR.
又因為N為AB的中點,所以Q為AR的中點,
所以NQ==.
同理,可得MQ=.
故△MNQ為等腰三角形,
所以在等腰△MNQ中,
cos∠MNQ===.
故二面角A NP M的餘弦值是.
方法二:由俯視圖及(1)可知,AO⊥平面BCD.
因為OC,OB⊂平面BCD,所以AO⊥OC,AO⊥OB.
又OC⊥OB,所以直線OA,OB,OC兩兩垂直.
如圖所示,以O為座標原點,以OB,OC,OA的方向為x軸,y軸,z軸的正方向,建立空間直角座標系O xyz.
則A(0,0,),B(1,0,0),C(0,,0),D(-1,0,0).
因為M,N分別為線段AD,AB的中點,
又由(1)知,P為線段BC的中點,
所以M,N,P,於是AB=(1,0,-),BC=(-1,,0),MN=(1,0,0),NP=.
設平面ABC的一個法向量n1=(x1,y1,z1),
由得即
從而
取z1=1,則x1=,y1=1,所以n1=(,1,1).
設平面MNP的一個法向量n2=(x2,y2,z2),由,
得
即
從而
取z2=1,則y2=1,x2=0,所以n2=(0,1,1).
設二面角A NP M的大小為θ,則cos θ===.
故二面角ANPM的餘弦值是.
知識點:空間中的向量與立體幾何
題型:解答題