已知：AD是△ABC的高，且BD＝CD．（1）如圖1，求*：∠BAD＝∠CAD；（2）如圖2，點E在AD上，連...

問題詳情：

已知：AD是△ABC的高，且BD＝CD．

（1）如圖1，求*：∠BAD＝∠CAD；

（2）如圖2，點E在AD上，連接BE，將△ABE沿BE摺疊得到△A′BE，A′B與AC相交於點F，若BE＝BC，求∠BFC的大小；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接EF，過點C作CG⊥EF，交EF的延長線於點G，若BF＝10，EG＝6，求線段CF的長．

【回答】

【解答】（1）*：如圖1中，

∵BD＝CD，AD⊥BC，

∴AB＝AC，

∴∠BAD＝∠CAD．

（2）解：如圖2中，連接EC．

∵BD⊥BC，BD＝CD，

∴EB＝EC，

又∵EB＝BC，

∴BE＝EC＝BC，

∴△BCE是等邊三角形，

∴∠BEC＝60°，

∴∠BED＝30°，

由翻折的*質可知：∠ABE＝∠A′BE＝∠ABF，

∴∠ABF＝2∠ABE，由（1）可知∠FAB＝2∠BAE，

∴∠BFC＝∠FAB+∠FBA＝2（∠BAE+∠ABE）＝2∠BED＝60°．

（3）解：如圖3中，連接EC，作EH⊥AB於H，EN⊥AC於N，EM⊥BA′於M．

∵∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠A′BE，

∴EH＝EN＝EM，

∴∠AFE＝∠EFB，

∵∠BFC＝60°，

∴∠AFE＝∠BFE＝60°，

在Rt△EFM中，∵∠FEM＝90°﹣60°＝30°，

∴EF＝2FM，設FM＝m，則EF＝2m，

∴FG＝EG﹣EF＝6﹣2m，

易知：FN＝EF＝m，CF＝2FG＝12﹣4m，

∵∠EMB＝∠ENC＝90°，EB＝EC，EM＝EN，

∴Rt△EMB≌Rt△ENC（HL），

∴BM＝CN，

∴BF﹣FM＝CF+FN，

∴10﹣m＝12﹣4m+m，

∴m＝1，

∴CF＝12﹣4＝8．

【點評】本題屬於幾何變換綜合題，考查了等腰三角形的判定和*質，線段的垂直平分線的*質，全等三角形的判定和*質，勾股定理，角平分線的判定和*質，等邊三角形的判定和*質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬於中考壓軸題．

知識點：等腰三角形

題型：綜合題