如圖，已知F1、F2是橢圓G：的左、右焦點，直線l：y=k（x+1）經過左焦點F1，且與橢圓G交於A、B兩點，...

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問題詳情：

如圖，已知F1、F2是橢圓G：的左、右焦點，直線l：y=k（x+1）經過左焦點F1，且與橢圓G交於A、B兩點，△ABF2的周長為．（Ⅰ）求橢圓G的標準方程；（Ⅱ）是否存在直線l，使得△ABF2為等腰直角三角形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請説明理由．

【回答】

解：（Ⅰ）設橢圓G的半焦距為c，因為直線l與x軸的交點為（-1，0），故c=1．又△ABF2的周長為，即，故a=．所以，b2=a2-c2=3-1=2．因此，橢圓G的標準方程為；注：本小題也可以用焦點和離心率作為條件，即將周長換離心率．（Ⅱ）不存在．理由如下：先用反*法*AB不可能為底邊，即|AF2|≠|BF2|．由題意知F2（1，0），設A（x1，y1），B（x2，y2），假設|AF2|=|BF2|，則，又，，代入上式，消去，得：（x1-x2）（x1+x2-6）=0．因為直線l斜率存在，所以直線l不垂直於x軸，所以x1≠x2，故x1+x2=6（與x1≤，x2≤，x1+x2≤2＜6，矛盾）．聯立方程，得：（3k2+2）x2+6k2x+3k2-6=0，所以=6，矛盾．故|AF2|≠|BF2|．再*AB不可能為等腰直角三角形的直角腰．假設△ABF2為等腰直角三角形，不妨設A為直角頂點．設|AF1|=m，則，在△AF1F2中，由勾股定理得：，此方程無解．故不存在這樣的等腰直角三角形．注：本題也可改為是否存在直角三角形？會簡單一些．改為是否存在等腰三角形則不易計算，也可修改橢圓方程使存在等腰直角三角形．