楊輝三角，又稱帕斯卡三角，是二項式係數在三角形中的一種幾何排列.在我國南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法》一書...

問題詳情：

楊輝三角，又稱帕斯卡三角，是二項式係數在三角形中的一種幾何排列.在我國南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中用如圖所示的三角形解釋二項展開式的係數規律.現把楊輝三角中的數從上到下，從左到右依次排列，得數列：.記作數列，若數列的前項和為，則___ .

【回答】

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【解析】

將數列排列成楊輝三角數陣，使得每行的項數與行的相等，並計算出每行的各項之和，然後確定數列第所處的行數與項的序數，然後利用規律將這些項全部相加可得*。

【詳解】

將數列中的項從上到下，從左到右排成楊輝三角形數陣，如下所示：

使得每行的序數與該行的項數相等，則第行最後項在數列中的項數為，

設位於第，則，所以，，

且第行最後一項在數列中的項數為，

所以，位於楊輝三角數陣的第行第個，

第一行各項和為，第二行各項和為，第三行各項的和為，依此類推，第行各項的和為，

因此，

         ，故*為：。

【點睛】

本題考查合情推理，考查二項式係數與楊輝三角，解決這類問題關鍵在於確定所找的項所在楊輝三角所處的位置，並利用規律來解題，考查推理論*能力與計算能力，屬於難題。

知識點：計數原理

題型：填空題