問題詳情:
設函數f(x)=x3+bx2+cx(x∈R),已知g(x)=f(x)-f′(x)是奇函數.
(1)求b,c的值.
(2)求g(x)的單調區間與極值.
【回答】
解:(1)f′(x)=3x2+2bx+c,
所以g(x)=f(x)-f′(x)=x3+bx2+cx-(3x2+2bx+c)=x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c.
又g(x)是奇函數,
所以g(0)=-c=0.
由g(-x)=-g(x)得b-3=0,
所以b=3,c=0.
(2)由(1)知,g(x)=x3-6x,
所以g′(x)=3x2-6.
令g′(x)=0,得x=±;
令g′(x)>0,得x<-或x>;
令g′(x)<0,得-<x<.
所以(-∞,-),(,+∞)是函數g(x)的遞增區間,(-,)是函數g(x)的遞減區間,函數g(x)在x=-處取得極大值為;在x=處取得極小值為-.
知識點:導數及其應用
題型:解答題