問題詳情:
(1)已知函數f(x)=axekx-1,g(x)=ln x+kx.當a=1時,若f(x)在(1,+∞)上為減函數,g(x)在(0,1)上為增函數,求實數k的值;
(2)已知函數f(x)=x+-2ln x,a∈R,討論函數f(x)的單調區間.
【回答】
[解] (1)當a=1時,f(x)=xekx-1,
∴f′(x)=(kx+1)ekx,g′(x)=+k.
∵f(x)在(1,+∞)上為減函數,
則∀x>1,f′(x)≤0⇔k≤-,
∴k≤-1.
∵g(x)在(0,1)上為增函數,
則∀x∈(0,1),g′(x)≥0⇔k≥-,
∴k≥-1.
綜上所述,k=-1.
(2)函數f(x)的定義域為(0,+∞),
∴f′(x)=1--=
①當Δ=4+4a≤0,即a≤-1時,
得x2-2x-a≥0,
則f′(x)≥0.
∴函數f(x)在(0,+∞)上單調遞增.
②當Δ=4+4a>0,即a>-1時,
令f′(x)=0,得x2-2x-a=0,
解得x1=1-,x2=1+>0.
(ⅰ)若-1<a≤0,則x1=1-≥0,
∵x∈(0,+∞),
∴f(x)在(0,1-),(1+,+∞)上單調遞增,
在(1-,1+)上單調遞減.
(ⅱ)若a>0,則x1<0,當x∈(0,1+)時,f′(x)<0,當x∈(1+,+∞)時,f′(x)>0,
∴函數f(x)在區間(0,1+)上單調遞減,
在區間(1+,+∞)上單調遞增.
知識點:導數及其應用
題型:解答題