閲讀下面材料，完成（1）﹣（3）題數學課上，老師出示了這樣一道題：如圖1，△ABC中，∠BAC＝90°，點D、...

問題詳情：

閲讀下面材料，完成（1）﹣（3）題

數學課上，老師出示了這樣一道題：如圖1，△ABC中，∠BAC＝90°，點D、E在BC上，AD＝AB，AB＝kBD（其中＜k＜1）∠ABC＝∠ACB+∠BAE，∠EAC的平分線與BC相交於點F，BG⊥AF，垂足為G，探究線段BG與AC的數量關係，並*．同學們經過思考後，交流了自已的想法：

小明：“通過觀察和度量，發現∠BAE與∠DAC相等．”

小偉：“通過構造全等三角形，經過進一步推理，可以得到線段BG與AC的數量關係．”

……

老師：“保留原題條件，延長圖1中的BG，與AC相交於點H（如圖2），可以求出的值．”

（1）求*：∠BAE＝∠DAC；

（2）探究線段BG與AC的數量關係（用含k的代數式表示），並*；

（3）直接寫出的值（用含k的代數式表示）．

【回答】

*：（1）∵AB＝AD

∴∠ABD＝∠ADB

∵∠ADB＝∠ACB+∠DAC，∠ABD＝∠ABC＝∠ACB+∠BAE

∴∠BAE＝∠DAC

（2）設∠DAC＝α＝∠BAE，∠C＝β

∴∠ABC＝∠ADB＝α+β

∵∠ABC+∠C＝α+β+β＝α+2β＝90°，∠BAE+∠EAC＝90°＝α+∠EAC

∴∠EAC＝2β

∵AF平分∠EAC

∴∠FAC＝∠EAF＝β

∴∠FAC＝∠C，∠ABE＝∠BAF＝α+β

∴AF＝FC，AF＝BF

∴AF＝BC＝BF

∵∠ABE＝∠BAF，∠BGA＝∠BAC＝90°

∴△ABG∽△BCA

∴

∵∠ABE＝∠BAF，∠ABE＝∠AFB

∴△ABF∽△BAD

∴，且AB＝kBD，AF＝BC＝BF

∴k＝，即

∴

（3）∵∠ABE＝∠BAF，∠BAC＝∠AGB＝90°

∴∠ABH＝∠C，且∠BAC＝∠BAC

∴△ABH∽△ACB

∴

∴AB2＝AC×AH

設BD＝m，AB＝km，

∵

∴BC＝2k2m

∴AC＝＝km

∴AB2＝AC×AH

（km）2＝km×AH

∴AH＝

∴HC＝AC﹣AH＝km﹣＝

∴

知識點：各地中考

題型：解答題