問題詳情：
已知
，
．
⑴求
的解析式；
⑵求
時，
的值域；
⑶設
，若
對任意的
，總有
恆成立，求實數
的取值範圍.
【回答】
(1)
（2）
（3）
【解析】
試題分析：(1)由題已知
，求
，可利用換元法，即：
，
，將條件中的
，換為
得：
，求出
（2）由（1）得
，可繼續換元，
得：
，需對
進行分類討論，而化為熟悉的二次函數的
值域問題解決.
（3）由
恆成立，可轉化為
在
滿足
，則需對
的單調*進行分析，由
，採用換元法
，得：
，由
，藉助函數的單調*，對
進行分類討論，分別得出
的取值範圍，取各種情況的並集，得出結果.
試題解析：⑴設
，則
，所以
，
所以
；
⑵設
，則
當
時，
，
的值域為
當
時，
若
，
，
的值域為
若
，
，
在
上單調遞增，在
上單調遞減，
的值域為
綜上，當
時
的值域為
，當
時
的值域為
；
⑶因為
對任意
總有
所以
在
滿足
設
，則
，
當
即
時
在區間
單調遞增
所以
，即
，所以
(舍)
當
時，
，不符合題意
當
時， 若
即
時，
在區間
單調遞增
所以
，則
若
即
時
在
遞增，在
遞減
所以
，得
若
即
時
在區間
單調遞減
所以
，即
，得
綜上所述：
.
考點：1.換元法求函數解析式； 2.換元法與二次函數的值域問題及分類思想.
3. 恆成立中的函數思想及分類思想.
知識點：基本初等函數I
題型：解答題
國文精選館
