已知函數，且恆成立.(Ⅰ)求的值(Ⅱ)求為何值時，在上取得最大值；(Ⅲ)設，若是單調遞增函數，求的取值範圍.

問題詳情：

已知函數，且恆成立.

(Ⅰ)求的值

(Ⅱ)求為何值時，在上取得最大值；

(Ⅲ) 設，若是單調遞增函數，求的取值範圍.

【回答】

解：(Ⅰ) ∵,且恆成立，

     ∴的定義域為(2,∞),且是的最小值.

   又∵.

∴，解得.         

(Ⅱ)由上問知

   ∴當時，；

     當時，  

   ∴在（2，4）上是減函數，在（4，+∞）是增函數

   ∴在上的最大值應在端點處取得.

   ∵，

  ∴ .即當時，取得在上的最大值.

  (Ⅲ) ∵是單調遞增函數，∴恆成立.

     又∵.

   顯然在的定義域（2，∞）上， 恆成立.

∴在（2，∞）上恆成立.

下面分情況討論在（2，∞）上恆成立時，的解的情況.

當時，顯然不可能有在（2，∞）上恆成立.

當時，在（2，∞）上恆成立.

當時，又有兩種情況：

①；

②且

由①得，無解；由②得.

∵，∴

 綜上所述各種情況，當時，在（2，∞）上恆成立.

 ∴所求的的取值範圍為.

知識點：導數及其應用

題型：計算題