設函數．（Ⅰ）若在x=處的切線與直線4x+y=0平行，求a的值；（Ⅱ）討論函數的單調區間；（Ⅲ）若函數的圖象與...

問題詳情：

設函數．

（Ⅰ）若在x=處的切線與直線4x+y=0平行，求a的值；

（Ⅱ）討論函數的單調區間；

（Ⅲ）若函數的圖象與x軸交於A，B兩點，線段AB中點的橫座標為，*．

【回答】

解析：（I）由題知f(x)=2ax2+(a+4)x+lnx的定義域為(0，+∞)，

且．

又∵f(x)的圖象在x=處的切線與直線4x+y=0平行，

∴，

解得a=-6．                           

（Ⅱ），

由x>0，知>0．

①當a≥0時，對任意x>0，>0，

∴此時函數f(x)的單調遞增區間為(0，+∞)．

②當a<0時，令=0，解得，

當時，>0，當時，<0，

此時，函數f(x)的單調遞增區間為(0，)，單調遞減區間為(，+∞)．     

（Ⅲ）不妨設A(，0)，B(，0)，且，由（Ⅱ）知，

於是要*<0成立，只需*：即．

∵，   ①

，  ②

①-②得，

即，

∴，

故只需*，

即*，

即*，變形為，

設，令，

則，

顯然當t>0時，≥0，若且唯若t=1時，=0，

∴g(t)在(0，+∞)上是增函數．

又∵g(1)=0，

∴當t∈(0，1)時，g(t)<0總成立，命題得*．          

知識點：導數及其應用

題型：解答題