設，．已知函數，．（1）求的單調區間；（2）已知函數和的圖象在公共點（x0，y0）處有相同的切線，（i）求*：...

問題詳情：

設，．已知函數，．

（1）求的單調區間；

（2）已知函數和的圖象在公共點（x0，y0）處有相同的切線，

（i）求*：在處的導數等於0；

（ii）若關於x的不等式在區間上恆成立，求b的取值範圍．

【回答】

（1）遞增區間為，，遞減區間為；（2）（ⅰ）見解析，（ⅱ）．

【思路分析】（1）先求函數的導數，再根據，求得兩個極值點的大小關係，進而可得函數的單調區間；（2）（ⅰ）根據與有共同的切線，根據導數的幾何意義建立方程，可求得；（ii）將不等式轉化為，再根據前兩問可知是極大值點，，由（1）知在內單調遞增，在內單調遞減，從而在上恆成立，可得，，構造函數，根據單調*可求函數的值域，即得b的取值範圍．

當變化時，，的變化情況如下表：

所以的單調遞增區間為，，單調遞減區間為．

（2）（i）因為，由題意知，

所以，解得．

所以在處的導數等於0．

另一方面，由於，故，

由（1）知在內單調遞增，在內單調遞減，

故當時，在上恆成立，

從而在上恆成立．

由，得，．

令，，則，

令，解得（捨去）或．

因為，，，故的值域為．

所以的取值範圍是．

【名師點睛】本題考查導數的應用，屬於中檔問題，第一問的關鍵是根據條件判斷兩個極值點的大小，從而避免討論；第二問要注意切點是公共點，切點處的導數相等，求的取值範圍的關鍵是得出，然後構造函數進行求解．

知識點：導數及其應用

題型：解答題