問題詳情:
已知函數,.
(1)討論函數的單調*;
(2)若存在與函數,的圖象都相切的直線,求實數的取值範圍.
【回答】
【詳解】(1)函數的定義域為,,
所以
所以當即時,,在上單調遞增;
當即時,
當時,在上單調遞增;
當時,令得
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| + | - | + |
| 增 | 減 | 增 |
綜上:當時,在上單調遞增;當時在,單調遞增,在單調遞減.
(2)設函數在點與函數在點處切線相同,
,則,
由,得,再由
得,把代入上式得
設(∵x2>0,∴x∈(0,+∞)),
則 不妨設.
當時,,當時,
所以在區間上單調遞減,在區間上單調遞增,
把代入可得:
設,則對恆成立,
所以在區間上單調遞增,又
所以當時,即當時,
又當時,
因此當時,函數必有零點;即當時,必存在使得成立;
即存在使得函數在點與函數在點處切線相同.
又由單調遞增得,因此
所以實數的取值範圍是.
知識點:*與函數的概念
題型:解答題