如圖，PA與⊙O相切於點A，過點A作AB⊥OP，垂足為C，交⊙O於點B．連接PB，AO，並延長AO交⊙O於點D...

問題詳情：

如圖，PA與⊙O相切於點A，過點A作AB⊥OP，垂足為C，交⊙O於點B．連接PB，AO，並延長AO交⊙O於點D，與PB的延長線交於點E．

（1）求*：PB是⊙O的切線；

（2）若OC=3，AC=4，求sinE的值．

【回答】

【分析】（1）要*是圓的切線，須*過切點的半徑垂直，所以連接OBB，*OB⊥PE即可．

（2）要求sinE，首先應找出直角三角形，然後利用直角三角函數求解即可．而sinE既可放在直角三角形EAP中，也可放在直角三角形EBO中，所以利用相似三角形的*質求出EP或EO的長即可解決問題

【解答】（1）*：連接OB∵PO⊥AB，

∴AC=BC，

∴PA=PB

在△PAO和△PBO中

∴△PAO和≌△PBO

∴∠OBP=∠OAP=90°

∴PB是⊙O的切線．

（2）連接BD，則BD∥PO，且BD=2OC=6

在Rt△ACO中，OC=3，AC=4

∴AO=5

在Rt△ACO與Rt△PAO中，

∠APO=∠APO，

∠PAO=∠ACO=90°

∴△ACO∼△PAO

=

∴PO=，PA=

∴PB=PA=

在△EPO與△EBD中，

BD∥PO

∴△EPO∽△EBD

∴=，

解得EB=，

PE=，

∴sinE==

【點評】本題考查了切線的判定以及相似三角形的判定和*質．能夠通過作輔助線將所求的角轉移到相應的直角三角形中，是解答此題的關鍵．

知識點：各地中考

題型：解答題