如圖，PB為⊙O的切線，B為切點，直線PO交⊙O於點E、F，過點B作PO的垂線BA，垂足為點D，交⊙O於點A，...

問題詳情：

如圖，PB為⊙O的切線，B為切點，直線PO交⊙O於點E、F，過點B作PO的垂線BA，垂足為點D，交⊙O於點A，延長AO與⊙O交於點C，連接BC，AF.

(1)求*：直線PA為⊙O的切線；

(2)求*：EF2＝4OD·OP；

(3)若BC＝6，tanF＝，求AC的長.

【回答】

（1）*：如解圖，連接OB，

    第13題解圖

∵PB是⊙O的切線，

∴∠PBO＝90°，

∵OA＝OB，BA⊥PO於點D，

∴AD＝BD，

∴點D為AB的中點，即OP垂直平分AB，

∴∠APO＝∠BPO，

∵∠ADP＝∠BDP＝90°，

∴△APD≌△BPD，

∴AP＝BP，

在△PAO和△PBO中，

，

∴△PAO≌△PBO（SAS），

∴∠PAO＝∠PBO＝90°，

∵OA為⊙O的半徑，

∴直線PA為⊙O的切線；

(2)*：∵∠PAO＝∠PDA＝90°，

∴∠OAD＋∠AOD＝90°，∠OPA＋∠AOP＝90°，

∴∠OAD＝∠OPA，

∴△OAD∽△OPA，

∴＝，即OA2＝OD·OP，

又∵EF＝2OA，

∴EF 2＝4OD·OP；

(3)解：∵OA＝OC，AD＝BD，BC＝6，

∴OD＝BC＝3，

設AD＝x，

∴tanF＝＝＝，

∴DF＝2x，∴OA＝OF＝2x－3，

在Rt△AOD中，由勾股定理得

(2x－3)2＝x2＋32，解得x1＝4或x2＝0(不合題意，捨去)，

∴OA＝2x－3＝5，

∵AC為⊙O的直徑，

∴AC＝2OA＝10.

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題