如圖，AB是⊙O的直徑，ED切⊙O於點C，AD交⊙O於點F，∠AC平分∠BAD，連接BF．（1）求*：AD⊥E...

問題詳情：

如圖，AB是⊙O的直徑，ED切⊙O於點C，AD交⊙O於點F，∠AC平分∠BAD，連接BF．

（1）求*：AD⊥ED；

（2）若CD=4，AF=2，求⊙O的半徑．

【回答】

（1）*見解析；（2）⊙O的半徑為．

【解析】

（1）連接OC，如圖，先*OC∥AD，然後利用切線的*質得OC⊥DE，從而得到AD⊥ED；

（2）OC交BF於H，如圖，利用圓周角定理得到∠AFB=90°，再*四邊形CDFH為矩形得到FH=CD=4，∠CHF=90°，利用垂徑定理得到BH=FH=4，然後利用勾股定理計算出AB，從而得到⊙O的半徑．

【詳解】

（1）*：連接OC，如圖，

∵AC平分∠BAD，

∴∠1=∠2，

∵OA=OC，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴OC∥AD，

∵ED切⊙O於點C，

∴OC⊥DE，

∴AD⊥ED；

（2）解：OC交BF於H，如圖，

∵AB為直徑，

∴∠AFB=90°，

易得四邊形CDFH為矩形，

∴FH=CD=4，∠CHF=90°，

∴OH⊥BF，

∴BH=FH=4，

∴BF=8，

在Rt△ABF中，AB=，

∴⊙O的半徑為．

【點睛】

本題考查了切線的*質：圓的切線垂直於經過切點的半徑．若出現圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關係．也考查了垂徑定理和圓周角定理．

知識點：圓的有關*質

題型：解答題