已知，四邊形ABCD中，E是對角線AC上一點，DE＝EC，以AE為直徑的⊙O與邊CD相切於點D，點B在⊙O上，...

問題詳情：

已知，四邊形ABCD中，E是對角線AC上一點，DE＝EC，以AE為直徑的⊙O與邊CD相切於點D，點B在⊙O上，連接OB．

（1）求*：DE＝OE；

（2）若CD∥AB，求*：BC是⊙O的切線；

（3）在（2）的條件下，求*：四邊形ABCD是菱形．

【回答】

【解答】解：（1）如圖，連接OD，

∵CD是⊙O的切線，

∴OD⊥CD，

∴∠2+∠3＝∠1+∠COD＝90°，

∵DE＝EC，

∴∠1＝∠2，

∴∠3＝∠COD，

∴DE＝OE；

（2）∵OD＝OE，

∴OD＝DE＝OE，

∴∠3＝∠COD＝∠DEO＝60°，

∴∠2＝∠1＝30°，

∵AB∥CD，

∴∠4＝∠1，

∴∠1＝∠2＝∠4＝∠OBA＝30°，

∴∠BOC＝∠DOC＝60°，

在△CDO與△CBO中，，

∴△CDO≌△CBO（SAS），

∴∠CBO＝∠CDO＝90°，

∴OB⊥BC，

∴BC是⊙O的切線；

（3）∵OA＝OB＝OE，OE＝DE＝EC，

∴OA＝OB＝DE＝EC，

∵AB∥CD，

∴∠4＝∠1，

∴∠1＝∠2＝∠4＝∠OBA＝30°，

∴△ABO≌△CDE（AAS），

∴AB＝CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠DAE＝∠DOE＝30°，

∴∠1＝∠DAE，

∴CD＝AD，

∴▱ABCD是菱形．

【點評】此題主要考查了切線的*質，同角的餘角相等，等腰三角形的*質，平行四邊形的判定和*質，菱形的判定，判斷出△ABO≌△CDE是解本題的關鍵．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題