問題詳情:
如圖,AB是⊙O的直徑,AC是⊙O的切線,BC與⊙O相交於點D,點E在⊙O上,且DE=DA,AE與BC相交於點F.
(1)求*:FD=DC;
(2)若AE=8,DE=5,求⊙O的半徑.
【回答】
【考點】切線的*質.
【分析】(1)由切線的*質得BA⊥AC,則∠2+∠BAD=90°,再根據圓周角定理得∠ADB=90°,則∠B+∠BAD=90°,所以∠B=∠2,接着由DA=DE得到∠1=∠E,由圓周角定理得∠B=∠E,所以∠1=∠2,可判斷AF=AC,根據等腰三角形的*質得FD=DC;
(2)作DH⊥AE於H,如圖,根據等腰三角形的*質得AH=EH=AE=4,再根據勾股定理可計算出DH=3,然後*△BDA∽△EHD,利用相似比可計算出AB=,從而可得⊙O的半徑.
【解答】(1)*:∵AC是⊙O的切線,
∴BA⊥AC,
∴∠2+∠BAD=90°,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ADB=90°,
∴∠B+∠BAD=90°,
∴∠B=∠2,
∵DA=DE,
∴∠1=∠E,
而∠B=∠E,
∴∠B=∠1,
∴∠1=∠2,
∴AF=AC,
而AD⊥CF,
∴FD=DC;
(2)解:作DH⊥AE於H,如圖,
∵DA=DE=5,
∴AH=EH=AE=4,
在Rt△DEH中,DH==3,
∵∠B=∠E,∠ADB=∠DHE=90°,
∴△BDA∽△EHD,
∴=,即=,
∴AB=,
∴⊙O的半徑為.
知識點:點和圓、直線和圓的位置關係
題型:綜合題