問題詳情:
已知,平行四邊形ABCD,E在BC延長線上,連接DE,∠A+∠E=180°.
(1)如圖1,求*:CD=DE;
(2)如圖2,過點C作BE的垂線,交AD於點F,求*:BE=AF+3DF;
(3)如圖3,在(2)的條件下,∠ABC的平分線,交CD於G,交CF於H,連接FG,若∠FGH=45°,DF=8,CH=9,求BE的長.
【回答】
【解答】解:(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴∠A=∠BCD,
∵∠A+∠E=180°,∠BCD+∠DCE=180°,
∴∠DCE=∠E,
∴CD=DE;
(2)如圖2,過點D作DN⊥BE於N,
∵CF⊥BE,
∴∠DNC=∠BCF=90°,
∴FC∥DN,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD∥BC,
∴四邊形CFDN是矩形,
∴FD=CN,
∵CD=DE,DN⊥CE,
∴CN=NE=FD,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴BC=AD=AF+FD,
∴BE=AF+3DF.
(3)如圖3,過點B作BM⊥AD於點M,延長FM至K,使KM=HC.連接BK,
∵□ABCD,
∴AB∥CD,
∴∠ABG=∠BGC,
∵BG平分∠ABC,
∴設∠ABG=∠CBG=∠BGC=α,
∴BC=CG,
∵∠FGH=45°,
∴∠FGC=45°+α,
∵∠BCF=90°,
∴∠BHC=∠FHG=90°﹣α,
∴∠HFG=45°+α=∠FGC,
∴FC=CG=BC,
∵BM⊥AD,
∴∠MBC=90°=∠FCE=∠MFC,
∴四邊形BCFM是矩形,
∵BC=FC,
∴四邊形BCFM是正方形,
∴BM=MF=BC=AD,
∴MA=DF=8,
∵∠KMB=∠BCH=90°,KM=CH,
∴△BMK≌△BCH,
∴KM=CH=9,∠KBM=∠CBH=α,∠K=∠BHC=90°﹣α,
∵∠MBC=90°,
∴∠MBA=90°﹣2α,
∴∠KBA=90°﹣α=∠K,
∴AB=AK=8+9=17,
在Rt△ABM中,∠BMA=90°,BM==15,
∴AD=BC=BM=15,[來源:學&科&網]
∴AF=AD﹣DF=15﹣8=7,
∴BE=AF+3DF=7+3×8=31.
知識點:平行四邊形
題型:解答題