問題詳情:
已知函數f(x)=(m+x)lnx在(1,f(1))處的切線與直線y=2x一4平行.
(1)求f(x)在區間[e,)上的最小值;
(2)若對任意x(0,1),都有成立,求實數a的取值範圍.
【回答】
【考點】導數的綜合運用
【試題解析】
(1)因為f(x)=(m+x)lnx,所以f’(x)=, 因為函數f(x)=(m+x)lnx在(1,f(1))處的切線與直線y=2x一4平行, 所以f’(1)=1+m=2,所以m=1. 此時f(x)=(1+x)lnx,f’(x)= 當時,f’(x)>0, 所以f(x)在[e,)上單調遞增, 所以 (2)由題知:對任意的x(0,1),都有成立, 即成立,因為x(0,1),所以, 所以當a<0時,,不合題意; 當a>0時,成立。 設h(x)= 恆成立, h’(x)=,令g(x)= , 若a在(0,1)上單調遞增, 又h(1)=0,所以h(x)<0. 若a>1, 故存在, 所以對任意的, 所以h(x)在上單調遞減,又h(1)=0, 所以,不合題意。 綜上,實數a的取值範圍是(0,1)
知識點:導數及其應用
題型:解答題