問題詳情:
已知橢圓C: =1(a>b>0)的左焦點為F,短軸的兩個端點分別為A、B,且|AB|=2,△ABF為等邊三角形.
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,點M在橢圓C上且位於第一象限內,它關於座標原點O的對稱點為N; 過點M 作x軸的垂線,垂足為H,直線NH與橢圓C交於另一點J,若,試求以線段NJ為直徑的圓的方程;
(3)已知l1、l2是過點A的兩條互相垂直的直線,直線l1與圓O:x2+y2=4相交於P、Q兩點,直線l2與橢圓C交於另一點R;求△PQR面積取最大值時,直線l1的方程.
【回答】
【考點】直線與橢圓的位置關係;橢圓的標準方程.
【分析】(1)由橢圓左焦點為F,短軸的兩個端點分別為A、B,且|AB|=2,△ABF為等邊三角形,列出方程組,求出a,b,由此能求出橢圓C的方程.
(2)設M(x0,y0),則由條件,知x0>0,y0>0,且N(﹣x0,﹣y0),H(x0,0).推導出,進而求得直線NH的方程:.由.再求出線段HJ的中點座標,由此能求出以線段NJ為直徑的圓的方程.
(3)當直線l1的斜率為0時,.當直線l1的斜率存在且不為0時,設其方程為y=kx﹣1(k≠0),利用點到直線距離公式、弦長公式、直線垂直、三角形面積公式,結合已知條件能求出結果.
【解答】解:(1)∵橢圓C: =1(a>b>0)的左焦點為F,短軸的兩個端點分別為A、B,且|AB|=2,△ABF為等邊三角形.
∴由題意,得:,
∴橢圓C的方程為.
(2)設M(x0,y0),則由條件,知x0>0,y0>0,且N(﹣x0,﹣y0),H(x0,0).
從而.
於是由.
再由點M在橢圓C上,得.
所以,
進而求得直線NH的方程:.
由.
進而.
∴以線段NJ為直徑的圓的方程為:.
(3)當直線l1的斜率不存在時,直線l2與橢圓C相切於點A,不合題意,
當直線l1的斜率為0時,由題意得.
當直線l1的斜率存在且不為0時,設其方程為y=kx﹣1(k≠0),
則點O到直線l1的距 離為,從而由幾何意義,得,
由於l2⊥l1,故直線l2的方程為,由題意得它與橢圓C的交點R的座標為,
於是.
,
,
若且唯若時,上式取等號.
∵,故當時,,
此時直線l1的方程為:.(也可寫成.)
知識點:圓錐曲線與方程
題型:綜合題