問題詳情:
已知橢圓C:=1(a>b>0)過點P(2,1),其左右焦點分別為F1,F2,三角形PF1F2的面積為. (Ⅰ)求橢圓C的方程; (Ⅱ)已知A,B是橢圓C上的兩個動點且不與座標原點O共線,若∠APB的角平分線總垂直於x軸,求*:直線AB與兩座標軸圍成的三角形一定是等腰三角形
【回答】
解:(Ⅰ)由題意可得,解得a2=6,b2=3, 故橢圓C的方程為+=1, *(Ⅱ):設直線AP的斜率為k,則直線BP的斜率為-k, 設A(x1,y1),B(x2,y2),直線PA的方程為y+1=k(x-2),即y=kx+1-2k 聯立,得(1+2k2)x2+4(k-2k2)x+8k2-8k-4=0. ∴2x1=,即x1= 設直線PB的方程為y+1=-k(x-2),同理求得x2= ∴x2-x1=- ∴y1-y2=k(x1+x2)+2-4k=, ∴直線AB的斜率kAB==1, 易知l與在兩座標軸的截距絕對值相等且都不為0, ∴直線AB與兩座標軸圍成的三角形一定是等腰三角形 【解析】
(Ⅰ)由題意可得,解得a2=6,b2=3,則橢圓方程可求; (Ⅱ)設直線PA的方程為y+1=k(x-2),聯立直線方程和橢圓方程,求得A的橫座標,同理求得B的橫座標,進一步求得A、B的縱座標的差,代入斜率公式得*. 本題考查橢圓標準方程的求法,考查了直線與橢圓位置關係的應用,考查計算能力,屬中檔題.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題