問題詳情:
已知拋物線的準線過橢圓C:(a>b>0)的左焦點F,且點F到直線l:(c為橢圓焦距的一半)的距離為4.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)過點F做直線與橢圓C交於A,B兩點,P是AB的中點,線段AB的中垂線交直線l於點Q.若,求直線AB的方程.
【回答】
(1);(2)或.
【分析】
(1)由拋物線的準線方程求出的值,確定左焦點座標,再由點F到直線l:的距離為4,求出即可;
(2)設直線方程,與橢圓方程聯立,運用根與係數關係和絃長公式,以及兩直線垂直的條件和中點座標公式,即可得到所求直線的方程.
【詳解】
(1)拋物線的準線方程為,
,直線,點F到直線l的距離為,
,
所以橢圓的標準方程為;
(2)依題意斜率不為0,又過點,設方程為,
聯立,消去得,,
,設,
,
,
,
線段AB的中垂線交直線l於點Q,所以橫座標為3,
,,
,平方整理得,
解得或(捨去),,
所求的直線方程為或.
【點睛】
本題考查橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關係,要熟練應用根與係數關係、相交弦長公式,合理運用兩點間的距離公式,考查計算求解能力,屬於中檔題.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題