問題詳情:
如圖,AB為⊙O的直徑,點P為AB延長線上的一點,過點P作⊙O的切線PE,切點為M,過A、B兩點分別作PE的垂線AC、BD,垂足分別為C、D,連接AM,則下列結論正確的是 .(寫出所有正確結論的序號)
①AM平分∠CAB;
②AM2=AC•AB;
③若AB=4,∠APE=30°,則的長為;
④若AC=3,BD=1,則有CM=DM=.
【回答】
①②④【解答】解:連接OM,
∵PE為⊙O的切線,
∴OM⊥PC,
∵AC⊥PC,
∴OM∥AC,
∴∠CAM=∠AMO,
∵OA=OM,
∠OAM=∠AMO,
∴∠CAM=∠OAM,即AM平分∠CAB,故①正確;
∵AB為⊙O的直徑,
∴∠AMB=90°,
∵∠CAM=∠MAB,∠ACM=∠AMB,
∴△ACM∽△AMB,
∴,
∴AM2=AC•AB,故②正確;
∵∠APE=30°,
∴∠MOP=∠OMP﹣∠APE=90°﹣30°=60°,
∵AB=4,
∴OB=2,
∴的長為,故③錯誤;
∵BD⊥PC,AC⊥PC,
∴BD∥AC,
∴,
∴PB=,
∴,BD=,
∴PB=OB=OA,
∴在Rt△OMP中,OM==2,
∴∠OPM=30°,
∴PM=2,
∴CM=DM=DP=,故④正確.
知識點:各地中考
題型:填空題