如圖，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過點C的直線交AB的延長線於點D，AE⊥DC，垂足為E，F是AE與⊙O...

問題詳情：

如圖，AB為⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過點C的直線交AB的延長線於點D，AE⊥DC，垂足為E，F是AE與⊙O的交點，AC平分∠BAE．

（1）求*：DE是⊙O的切線；

（2）若AE=6，∠D=30°，求圖中*影部分的面積．

【回答】

【解答】（1）*：連接OC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵AC平分∠BAE，

∴∠OAC=∠CAE，

∴∠OCA=∠CAE，

∴OC∥AE，

∴∠OCD=∠E，

∵AE⊥DE，

∴∠E=90°，

∴∠OCD=90°，

∴OC⊥CD，

∵點C在圓O上，OC為圓O的半徑，

∴CD是圓O的切線；

（2）解：在Rt△AED中，

∵∠D=30°，AE=6，

∴AD=2AE=12，

在Rt△OCD中，∵∠D=30°，

∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，

∴DB=OB=OC=AD=4，DO=8，

∴CD===4，

∴S△OCD===8，

∵∠D=30°，∠OCD=90°，

∴∠DOC=60°，

∴S扇形OBC=×π×OC2=，

∵S*影=S△COD﹣S扇形OBC

∴S*影=8﹣，

∴*影部分的面積為8﹣．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題