如圖，在三稜錐中，底面是邊長為4的正三角形，，底面，點分別為，的中點.（1）求*：平面平面；（2）在線段上是否...

問題詳情：

如圖，在三稜錐中，底面是邊長為4的正三角形，，底面，點分別為，的中點.

（1）求*：平面平面；

（2）在線段上是否存在點，使得直線與平面所成的角的正弦值為？若存在，確定點的位置；若不存在，請説明理由.

【回答】

【詳解】（1）*：∵，為的中點，

∴

又平面，平面，∴

∵

∴平面

∵平面

∴平面平面

（2）解：如圖，由（1）知，，，點，分別為的中點，

∴，∴，，又，

∴兩兩垂直，分別以方向為軸建立座標系.

則，，，，

設，

所以

，，設平面的法向量，則

，，令，則，，

∴

由已知 或（捨去）

故

故線段上存在點，使得直線與平面所成的角的正弦值為，

此時為線段的中點.

【點睛】利用法向量求解空間線面角的關鍵在於“四破”：第一，破“建系關”，構建恰當的空間直角座標系；第二，破“求座標關”，準確求解相關點的座標；第三，破“求法向量關”，求出平面的法向量；第四，破“應用公式關”.

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題