已知二次函數y＝ax2+bx+c（a＞0）（1）若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1①求該二次函數圖象的頂點座標；②定...

問題詳情：

已知二次函數y＝ax2+bx+c（a＞0）

（1）若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1

①求該二次函數圖象的頂點座標；

②定義：對於二次函數y＝px2+qx+r（p≠0），滿足方程y＝x的x的值叫做該二次函數的“不動點”．求*：二次函數y＝ax2+bx+c有兩個不同的“不動點”．

（2）設b＝c3，如圖所示，在平面直角座標系Oxy中，二次函數y＝ax2+bx+c的圖象與x軸分別相交於不同的兩點A（x1，0），B（x2，0），其中x1＜0，x2＞0，與y軸相交於點C，連結BC，點D在y軸的正半軸上，且OC＝OD，又點E的座標為（1，0），過點D作垂直於y軸的直線與直線CE相交於點F，滿足∠AFC＝∠ABC．FA的延長線與BC的延長線相交於點P，若＝，求二次函數的表達式．

【回答】

【解答】解：（1）①∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1

∴y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2

∴該二次函數圖象的頂點座標為（1，﹣2）

②*：當y＝x時，x2﹣2x﹣1＝x

整理得：x2﹣3x﹣1＝0

∴△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0

∴方程x2﹣3x﹣1＝0有兩個不相等的實數根

即二次函數y＝x2﹣2x﹣1有兩個不同的“不動點”．

（2）把b＝c3代入二次函數得：y＝ax2+c3x+c

∵二次函數與x軸交於點A（x1，0），B（x2，0）（x1＜0，x2＞0）

即xx2為方程ax2+c3x+c＝0的兩個不相等實數根

∴x1+x2＝﹣，x1x2＝

∵當x＝0時，y＝ax2+c3x+c＝c

∴C（0，c）

∵E（1，0）

∴CE＝，AE＝1﹣x1，BE＝x2﹣1

∵DF⊥y軸，OC＝OD

∴DF∥x軸

∴

∴EF＝CE＝，CF＝2

∵∠AFC＝∠ABC，∠AEF＝∠CEB

∴△AEF∽△CEB

∴，即AE•BE＝CE•EF

∴（1﹣x1）（x2﹣1）＝1+c2

展開得：1+c2＝x2﹣1﹣x1x2+x1

1+c2＝﹣﹣1﹣

c3+2ac2+2c+4a＝0

 c2（c+2a）+2（c+2a）＝0

（c2+2）（c+2a）＝0

∵c2+2＞0

∴c+2a＝0，即c＝﹣2a

∴x1+x2＝﹣＝4a2，x1x2＝＝﹣2，CF＝2＝2

∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16a4+8

∴AB＝x2﹣x1＝

∵∠AFC＝∠ABC，∠P＝∠P

∴△PFC∽△PBA

∴

∴

解得：a1＝1，a2＝﹣1（捨去）

∴c＝﹣2a＝﹣2，b＝c3＝﹣4

∴二次函數的表達式為y＝x2﹣4x﹣2

知識點：各地中考

題型：解答題