已知二次函數y＝x2－(2k＋1)x＋k2＋k(k＞0)．(1)當k＝時，求二次函數的頂點座標；(2)求*：...

問題詳情：

 已知二次函數y＝x2－(2k＋1)x＋k2＋k(k＞0)．

(1)當k＝時，求二次函數的頂點座標；

(2)求*：關於x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0(k＞0)有兩個不相等的實根；

(3)如圖，該二次函數圖象與x軸交於A、B兩點(A點在B點的左側)，與y軸交於C點，P是y軸負半軸上一點，且OP＝1，直線AP交BC於點Q.

求*：＋＝.

【回答】

 (1)解：當k＝時，y＝x2－2x＋＝(x－1)2－，

∴頂點座標為(1，－)；

(2)*：∵b2－4ac＝(2k＋1)2－4(k2＋k)＝4k2＋4k＋1－4k2－4k＝1＞0，

∴原方程一定有兩個不相等的實根；

(3)*：由題意得，A(k，0)，B(k＋1，0)，C(0，k2＋k)，

∴OA＝k，AB＝1，設PA的解析式為y1＝mx＋n，代入P(0，－1)，A(k，0)，

解得，m＝，n＝－1，於是y1＝x－1，

設BC的解析式為：y2＝sx＋t，代入B(k＋1，0)，C(0，k2＋k)，

解得，s＝－k，t＝k2＋k，於是y2＝－kx＋k2＋k，

聯立解得

∴點Q的座標為(k＋，)．

∴AQ2＝(k＋－k)2＋()2＝.

∴＝＝1＋.

∵＋＝＋1＝.

∴＋＝.

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題