二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致圖象如圖所示，頂點座標為(1，﹣4a)，點A(4，y1)是該拋物線...

問題詳情：

二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致圖象如圖所示，頂點座標為(1，﹣4a)，點A(4，y1)是該拋物線上一點，若點D(x2，y2)是拋物線上任意一點，有下列結論：①4a﹣2b+c＞0；②若y2＞y1，則x2＞4；③若0≤x2≤4，則0≤y2≤5a；④若方程a(x+1)(x﹣3)＝﹣1有兩個實數根x1和x2，且x1＜x2，則﹣1＜x1＜x2＜3．其中正確結論的個數是（　　）

A．1個                       B．2個                       C．3個                       D．4個

【回答】

B

【分析】

根據頂點座標得到對稱軸表達式，根據二次函數的對稱*，得到x=-2和x=4時y的值關於對稱軸對稱，即可判斷①； 結合①中結論，根據函數圖像即可判斷②； 首先根據對稱軸得到a和b的關係，然後根據頂點座標得到a和c的關係，求出當x=4時，y的值即可判斷③； 根據二次函數與一元二次方程的關係，得到a(x+1)(x﹣3)＝0的解，而a(x+1)(x﹣3)＝﹣1為函數y=a(x+1)(x﹣3)和直線y=-1的交點，即將函數y=a(x+1)(x﹣3)向上平移一個單位時，新函數與x軸的交點即為a(x+1)(x﹣3)＝﹣1的解，可判斷④．

【詳解】

①∵二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致圖象如圖所示，頂點座標為

∴函數的對稱軸為x＝

∴根據二次函數的對稱*，當x=-2和x=4時，y的值相等

∴當x=-2時，y=4a﹣2b+c＞0

於是①的結論正確；

②∵點A（4，y1）關於直線x＝1的對稱點為

∴當y2＞y1，則x2＞4或x2＜﹣2，

於是②錯誤；

③當x＝4時，y1＝16a+4b+c＝16a﹣8a﹣3c＝5a，

∴當﹣1≤x2≤4，則﹣3a≤y2≤5a，

於是③錯誤；

④∵方程有兩個實數根x1和x2，且x1＜x2，

∴拋物線與直線y＝﹣1交點的座標和

∵拋物線時，x＝﹣1或3，

即拋物線與x軸的兩個交點座標分別為（﹣1，0）和（3，0），

∴﹣1＜x1＜x2＜3，

於是④正確．

故選：B．

【點睛】

本題考查了二次函數的綜合知識，二次函數和一元二次方程，二次函數和不等式，題目綜合*較強，熟練掌握二次函數的基本知識並靈活運用是本題的關鍵．

知識點：二次函數的圖象和*質

題型：選擇題