如圖，△ABC中，∠BAC=900，AB=AC，點D是BC上一動點，連接AD，過點A作AE⊥AD，並且始終保持...

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問題詳情：

如圖，△ABC中，∠BAC=900，AB=AC，點D是BC上一動點，連接AD，過點A作AE⊥AD，並且始終保持AE=AD，連接CE.

（1）求*：△ABD≌△ACE；

（2）若AF平分∠DAE交BC於F，探究線段BD，DF，FC之間的數量關係,並*；

（3）在（2）的條件下，若BD=6，CF=8，求AD的長.

【回答】

（1）*見解析（2）BD2+FC2=DF2，*見解析；（3）6

【分析】

（1）根據SAS，只要*∠1=∠2即可解決問題；

（2）結論：BD2+FC2=DF2．連接FE，想辦法*∠ECF=90°，EF=DF，利用勾股定理即可解決問題；

（3）過點A作AG⊥BC於G．在Rt△ADG中，想辦法求出AG、DG即可解決問題．

【詳解】

（1）∵AE⊥AD，∴∠DAE=∠DAC+∠2=90°．

又∵∠BAC=∠DAC+∠1=90°，∴∠1=∠2．在△ABD和△ACE中，∵，∴△ABD≌△ACE．

（2）結論：BD2+FC2=DF2．理由如下：

連接FE．

∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠3=45°．

由（1）知△ABD≌△ACE，∴∠4=∠B=45°，BD=CE，∴∠ECF=∠3+∠4=90°，∴CE2+CF2=EF2，∴BD2+FC2=EF2．

∵AF平分∠DAE，∴∠DAF=∠EAF．在△DAF和△EAF中，∵，∴△DAF≌△EAF，∴DF=EF，∴BD2+FC2=DF2．

（3）過點A作AG⊥BC於G，由（2）知DF2=BD2+FC2=62+82=100，∴DF=10，∴BC=BD+DF+FC=6+10+8=24．

∵AB=AC，AG⊥BC，∴BG=AG=BC=12，∴DG=BG﹣BD=12﹣6=6，∴在Rt△ADG中，AD===6．

【點睛】

本題是三角形綜合題．考查了等腰直角三角形的*質、勾股定理、全等三角形的判定和*質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬於中考壓軸題．

知識點：勾股定理

題型：解答題

Tags：ABAC ad abc BAC900 BC

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