若數列{an}是公差為2的等差數列，數列{bn}滿足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1.（1）求...

問題詳情：

若數列{an}是公差為2的等差數列，數列{bn}滿足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1.

（1） 求數列{an}，{bn}的通項公式；

（2） 設數列{cn}滿足cn＝，數列{cn}的前n項和為Tn，若不等式(－1)nλ<Tn＋

對一切n∈N*恆成立，求實數λ的取值範圍.

【回答】

解　(1)  ∵  數列{bn}滿足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1.

∴  n＝1時，a1＋1＝2，解得a1＝1.

又數列{an}是公差為2的等差數列，

∴  an＝1＋2(n－1)＝2n－1.    

∴  2nbn＝nbn＋1，化為2bn＝bn＋1，

∴  數列{bn}是首項為1，公比為2的等比數列.

∴  bn＝2n－1.

(2)  由數列{cn}滿足cn＝＝＝，數列{cn}的前n項和為

Tn＝1＋＋＋…＋，

∴  Tn＝＋＋…＋＋，

兩式作差，得

∴  Tn＝1＋＋＋…＋－＝

∴  Tn＝4－.

不等式(－1)nλ<Tn＋，化為(－1)nλ<4－，

n＝2k(k∈N*)時，λ<4－，取n＝2，∴λ<3.

n＝2k－1(k∈N*)時，－λ<4－，取n＝1，∴λ>－2.

綜上可得：實數λ的取值範圍是(－2，3).

知識點：數列

題型：解答題