已知函數討論函數的單調*；設，對任意的恆成立，求整數的最大值；求*：當時，

問題詳情：

已知函數

討論函數的單調*；

設，對任意的恆成立，求整數的最大值；

求*：當時，

【回答】

（1）∵函數 f（x）＝（a∈R ）．

∴，x＞0，

當a＝0時，f′（x）0，f（x）在（0，+∞）單調遞增．

當a＞0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）單調遞增．

當a＜0時，令f′（x）＞0，解得：0＜x，

令f′（x）＜0，解得：x，

故f（x）在（0，）遞增，在（，+∞）遞減．

（2）當時，則f（1）＝2a+3＞0，不滿足f（x）≤0恆成立．

若a<0，由（1）可知，函數f（x）在（0，）遞增，在（，+∞）遞減．

∴，又f（x）≤0恆成立，

∴f（x）max≤0，即0，令g(a)=,則g(a)單調遞增，g(-1)=1，

g(-2)=<0，∴a時，g(a) <0恆成立，此時f（x）≤0恆成立，

∴整數的最大值-2．

（3）由（2）可知，當a＝-2時，f（x）≤0恆成立，即lnx﹣2x2+1≤0．即xlnx﹣2x3+x≤0，恆成立，①

又ex﹣x2+2x﹣1+（）

∴只需*ex﹣x2+2x﹣1，

記g（x）＝ex﹣x2+2x﹣1（x＞0），則g′（x）＝ex﹣2x+2，

記h（x）＝ex﹣2x+2，則h′（x）＝ex﹣2，由h′（x）＝0，得x＝ln2．

當x∈（0，ln2）時，h′（x）＜0；當x∈（ln2，+∞）時，h′（x）＞0．

∴函數h（x）在（0，ln2）上單調遞減；在（ln2，+∞）上單調遞增．

∴4﹣2ln2＞0．

∴h（x）＞0，即g′（x）＞0，故函數g（x）在（0，+∞）上單調遞增．

∴g（x）＞g（0）＝e0﹣1＝0，即ex﹣x2+2x﹣1＞0．

結合①∴ex﹣x2+2x﹣1+（）＞0，即＞0成立．

知識點：基本初等函數I

題型：解答題