問題詳情:
如圖1,中,,為底邊上任意一點,點到兩腰的距離分別為、,腰上的高為,連結,則,即,∴(定值).
(1)如圖2,在邊長為3的正方形中,點為對角線上的一點,且,為上一點,於,於,試利用上述結論求出的長;
(2)如圖3,如果把“等腰三角形”改成“等邊三角形”,那麼的位置可以由“在底邊上任一點”放寬為“在三角形內任一點”,試*:已知等邊內任意一點到各邊的距離分別為、、,等邊的高為,則(定值);
(3)若正邊形,內部任意一點到各邊的距離分別為、、…、,正邊形的外接圓半徑為,請問是否為定值,如果是,請猜測出這個定值,並予以*.
【回答】
(1) ;(2)見解析;(3)是,見解析.
【解析】
(1)連結交於點,由材料可知,問題得解;
(2)利用面積的割補法,得出,而這幾個三角形的底相等,故可得出高的關係;
(3)問題轉化為正n邊形時,根據正n邊形計算面積的方法,可得,從而得到,然後利用三角函數解答即可.
【詳解】
解 (1)連結交於點,
∵是正方形,
∴,.
∵,
∴.
∵,由閲讀材料的結論可得:,
∴.
(2)*:設等邊的邊長為,
據題意可得:,
∴,
∴(定值).
(3)猜想:(定值).
*:如圖4,設為正多邊形的任意一邊,其長為,為正多邊形的中心,
於是,
∵,
∴.
∵在中,,,
∴.
∴(定值).
【點睛】
本題主要利用面積分割法及面積與等積變換,求線段之間的關係,充分體現了面積法解題的作用,題目中涉及到的一題多解也是中考中常見的考點.
知識點:正多邊形和圓
題型:解答題