問題詳情:
(2019·河南中考模擬)(1)問題發現:如圖1,在等邊中,點為邊上一動點,交於點,將繞點順時針旋轉得到,連接.則與的數量關係是_____,的度數為______.
(2)拓展探究:如圖2,在中,,,點為邊上一動點,交於點,當∠ADF=∠ACF=90°時,求的值.
(3)解決問題:如圖3,在中,,點為的延長線上一點,過點作交的延長線於點,直接寫出當時的值.
【回答】
(1),;(2);(3).
【解析】
解:(1)∵DE∥AB ∴∠ABC=∠EDC=60°,∠BAC=∠DEC=60° ∴△DEC是等邊三角形,∠AED=120° ∴DE=DC, ∵將AD繞點D順時針旋轉60°得到DF, ∴∠ADF=60°=∠EDC,AD=DF ∴∠ADE=∠FDC,且CD=DE,AD=DF ∴△ADE≌△FDC(SAS) ∴AE=CF,∠AED=∠DCF=120° ∴∠ACF=60°, 故*為AE=CF,60°
(2)∵∠ABC=90°,∠ACB=60°, ∴∠BAC=30° ∴tan∠BAC=
∵DE∥AB ∴∠EDC=∠ABC=90° ∵∠ADF=90°, ∴∠ADE=∠FDC ∵∠ACF=90°,∠AED=∠EDC+∠ACB,∠FCD=∠ACF+∠ACB ∴∠AED=∠FCD,且∠ADE=∠FDC ∴△DAE∽△DFC
∵DE∥AB ∴△EDC∽△ABC
(3)∵AB∥DE ∴∠ABC=∠BDE=∠ADF,∠BAC=∠E ∴∠BDE+∠ADB=∠ADF+∠ADB ∴∠ADE=∠CDF, ∵∠ACD=∠ABC+∠BAC=∠ACF+∠DCF,且∠ACF=∠ABC ∴∠BAC=∠DCF=∠E,且∠ADE=∠CDF ∴△ADE∽△FDC
∵DE∥AB ∴△EDC∽△ABC
∵
【點睛】
本題是相似形綜合題,考查了全等三角形的判定和*質,旋轉的*質,相似三角形的判定和*質,*△ADE∽△FDC是本題的關鍵.
知識點:相似三角形
題型:解答題