如圖已知：直線y＝﹣x+3交x軸於點A，交y軸於點B，拋物線y＝ax2+bx+c經過A、B、C（1，0）三點．...

問題詳情：

如圖已知：直線y＝﹣x+3交x軸於點A，交y軸於點B，拋物線y＝ax2+bx+c經過A、B、C（1，0）三點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點D的座標為（﹣1，0），在直線y＝﹣x+3上有一點P，使△ABO與△ADP相似，求出點P的座標；

（3）在（2）的條件下，在x軸下方的拋物線上，是否存在點E，使△ADE的面積等於四邊形APCE的面積？如果存在，請求出點E的座標；如果不存在，請説明理由．

【回答】

解：（1）由題意得，A（3，0），B（0，3）

∵拋物線經過A、B、C三點，

∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三點分別代入y＝ax2+bx+c，

得方程組

解得：

∴拋物線的解析式為y＝x2﹣4x+3            

（2）由題意可得：△ABO為等腰三角形，如答圖1所示，

若△ABO∽△AP1D，則

∴DP1＝AD＝4，

∴P1（﹣1，4）

若△ABO∽△ADP2 ，過點P2作P2 M⊥x軸於M，AD＝4，

∵△ABO為等腰三角形，

∴△ADP2是等腰三角形，

由三線合一可得：DM＝AM＝2＝P2M，即點M與點C重合，

∴P2（1，2）

綜上所述，點P的座標為P1（﹣1，4），P2（1，2）；

（3）不存在．

理由：如答圖2，設點E（x，y），則 S△ADE＝

①當P1（﹣1，4）時，

S四邊形AP1CE＝S△ACP1+S△ACE＝＝4+|y|

∴2|y|＝4+|y|，

∴|y|＝4

∵點E在x軸下方，

∴y＝﹣4，代入得：x2﹣4x+3＝﹣4，即x2﹣4x+7＝0，

∵△＝（﹣4）2﹣4×7＝﹣12＜0

∴此方程無解

②當P2（1，2）時，

S四邊形AP2CE＝S△ACP2+S△ACE＝＝2+|y|，

∴2|y|＝2+|y|，

∴|y|＝2

∵點E在x軸下方，

∴y＝﹣2，代入得：x2﹣4x+3＝﹣2，即x2﹣4x+5＝0，

∵△＝（﹣4）2﹣4×5＝﹣4＜0

∴此方程無解

綜上所述，在x軸下方的拋物線上不存在這樣的點E．

【分析】（1）首先確定A、B、C三點的座標，然後利用待定係數法求拋物線的解析式；

（2）△ABO為等腰直角三角形，若△ADP與之相似，則有兩種情形，如答圖1所示．利用相似三角形的*質分別求解，避免遺漏；

（3）如答圖2所示，分別計算△ADE的面積與四邊形APCE的面積，得到面積的表達式．利用面積的相等關係得到一元二次方程，將點E是否存在的問題轉化為一元二次方程是否有實數根的問題，從而解決問題．需要注意根據（2）中P點的不同位置分別進行計算，在這兩種情況下，一元二次方程的判別式均小於0，即所求的E點均不存在．

知識點：相似三角形

題型：綜合題