問題詳情:
如圖1,直線l:y=x+m與x軸、y軸分別交於點A和點B(0,﹣1),拋物線y= x2+bx+c經過點B,與直線l的另一個交點為C(4,n).
(1)求n的值和拋物線的解析式;
(2)點D在拋物線上,DE∥y軸交直線l於點E,點F在直線l上,且四邊形DFEG為矩形(如圖2),設點D的橫座標為t(0<t<4),矩形DFEG的周長為p,求p與t的函數關係式以及p的最大值;
(3)將△AOB繞平面內某點M旋轉90°或180°,得到△A1O1B1,點A、O、B的對應點分別是點A1、O1、B1.若△A1O1B1的兩個頂點恰好落在拋物線上,那麼我們就稱這樣的點為“落點”,請直接寫出“落點”的個數和旋轉180°時點A1的橫座標.
【回答】
(1)n=2;y=x2﹣x﹣1;(2)p=;當t=2時,p有最大值;(3)6個,或;
【分析】
(1)把點B的座標代入直線解析式求出m的值,再把點C的座標代入直線求解即可得到n的值,然後利用待定係數法求二次函數解析式解答; (2)令y=0求出點A的座標,從而得到OA、OB的長度,利用勾股定理列式求出AB的長,然後根據兩直線平行,內錯角相等可得∠ABO=∠DEF,再解直角三角形用DE表示出EF、DF,根據矩形的周長公式表示出p,利用直線和拋物線的解析式表示DE的長,整理即可得到P與t的關係式,再利用二次函數的最值問題解答; (3)根據逆時針旋轉角為90°可得A1O1∥y軸時,B1O1∥x軸,旋轉角是180°判斷出A1O1∥x軸時,B1A1∥AB,根據圖3、圖4兩種情形即可解決.
【詳解】
解:
(1)∵直線l:y=x+m經過點B(0,﹣1),
∴m=﹣1,
∴直線l的解析式為y=x﹣1,
∵直線l:y=x﹣1經過點C(4,n),
∴n=×4﹣1=2,
∵拋物線y=x2+bx+c經過點C(4,2)和點B(0,﹣1),
∴,
解得,
∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣1;
(2)令y=0,則x﹣1=0,
解得x=,
∴點A的座標為(,0),
∴OA=,
在Rt△OAB中,OB=1,
∴AB===,
∵DE∥y軸,
∴∠ABO=∠DEF,
在矩形DFEG中,EF=DE•cos∠DEF=DE•=DE,
DF=DE•sin∠DEF=DE•=DE,
∴p=2(DF+EF)=2(+)DE=DE,
∵點D的橫座標為t(0<t<4),
∴D(t, t2﹣t﹣1),E(t, t﹣1),
∴DE=(t﹣1)﹣(t2﹣t﹣1)=﹣t2+2t,
∴p=×(﹣t2+2t)=﹣t2+t,
∵p=﹣(t﹣2)2+,且﹣<0,
∴當t=2時,p有最大值.
(3)“落點”的個數有6個,如圖1,圖2中各有2個,圖3,圖4各有一個所示.
如圖3中,設A1的橫座標為m,則O1的橫座標為m+,
∴m2﹣m﹣1=(m+)2﹣(m+)﹣1,
解得m=,
如圖4中,設A1的橫座標為m,則B1的橫座標為m+,B1的縱座標比例A1的縱座標大1,
∴m2﹣m﹣1+1=(m+)2﹣(m+)﹣1,
解得m=,
∴旋轉180°時點A1的橫座標為或
【點睛】
本題是二次函數綜合題型,主要考查了一次函數圖象上點的座標特徵,待定係數法求二次函數解析式,鋭角三角函數,長方形的周長公式,以及二次函數的最值問題,本題難點在於(3)根據旋轉角是90°判斷出A1O1∥y軸時,B1O1∥x軸,旋轉角是180°判斷出A1O1∥x軸時,B1A1∥AB,解題時注意要分情況討論.
知識點:二次函數單元測試
題型:解答題