如圖，拋物線y=ax2+bx+c經過點A（-2，5），與x軸相交於B（-1，0），C（3，0）兩點．（1）求拋...

問題詳情：

如圖，拋物線y=ax2+bx+c經過點A（-2，5），與x軸相交於B（-1，0），C（3，0）兩點． （1）求拋物線的函數表達式； （2）點D在拋物線的對稱軸上，且位於x軸的上方，將△BCD沿直線BD翻折得到△BC'D，若點C'恰好落在拋物線的對稱軸上，求點C'和點D的座標； （3）設P是拋物線上位於對稱軸右側的一點，點Q在拋物線的對稱軸上，當△CPQ為等邊三角形時，求直線BP的函數表達式．

【回答】

解：（1）由題意得： 解得， ∴拋物線的函數表達式為y=x2-2x-3． （2）∵拋物線與x軸交於B（-1，0），C（3，0）， ∴BC=4，拋物線的對稱軸為直線x=1， 如圖，設拋物線的對稱軸與x軸交於點H，則H點的座標為（1，0），BH=2， 由翻折得C′B=CB=4， 在Rt△BHC′中，由勾股定理，得C′H===2， ∴點C′的座標為（1，2），tan， ∴∠C′BH=60°， 由翻折得∠DBH=∠C′BH=30°， 在Rt△BHD中，DH=BH•tan∠DBH=2•tan30°=， ∴點D的座標為（1，）． （3）取（2）中的點C′，D，連接CC′， ∵BC′=BC，∠C′BC=60°， ∴△C′CB為等邊三角形．分類討論如下： ①當點P在x軸的上方時，點Q在x軸上方，連接BQ，C′P． ∵△PCQ，△C′CB為等邊三角形， ∴CQ=CP，BC=C′C，∠PCQ=∠C′CB=60°， ∴∠BCQ=∠C′CP， ∴△BCQ≌△C′CP（SAS）， ∴BQ=C′P． ∵點Q在拋物線的對稱軸上， ∴BQ=CQ， ∴C′P=CQ=CP， 又∵BC′=BC， ∴BP垂直平分CC′， 由翻折可知BD垂直平分CC′， ∴點D在直線BP上， 設直線BP的函數表達式為y=kx+b， 則，解得， ∴直線BP的函數表達式為y=． ②當點P在x軸的下方時，點Q在x軸下方． ∵△PCQ，△C′CB為等邊三角形， ∴CP=CQ，BC=CC′，∠CC′B=∠QCP=∠C′CB=60°． ∴∠BCP=∠C′CQ， ∴△BCP≌△C′CQ（SAS）， ∴∠CBP=∠CC′Q， ∵BC′=CC′，C′H⊥BC， ∴． ∴∠CBP=30°， 設BP與y軸相交於點E， 在Rt△BOE中，OE=OB•tan∠CBP=OB•tan30°=1×， ∴點E的座標為（0，-）． 設直線BP的函數表達式為y=mx+n， 則，解得， ∴直線BP的函數表達式為y=-． 綜上所述，直線BP的函數表達式為或． 【解析】

（1）根據待定係數法，把點A（-2，5），B（-1，0），C（3，0）的座標代入y=ax2+bx+c得到方程組求解即可； （2）設拋物線的對稱軸與x軸交於點H，則H點的座標為（1，0），BH=2，由翻折得C′B=CB=4，求出C′H的長，可得∠C′BH=60°，求出DH的長，則D座標可求； （3）由題意可知△C′CB為等邊三角形，分兩種情況討論：①當點P在x軸的上方時，點Q在x軸上方，連接BQ，C′P．*出△BCQ≌△C′CP，可得BP垂直平分CC′，則D點在直線BP上，可求出直線BP的解析式，②當點P在x軸的下方時，點Q在x軸下方．同理可求出另一直線解析式． 本題考查了二次函數的綜合題，涉及的知識點有：待定係數法求二次函數解析式，待定係數法求一次函數解析式，軸對稱的*質，全等三角形的判定和*質，等邊三角形的判定與*質，鋭角三角函數等知識，綜合*較強，有一定的難度．

知識點：各地中考

題型：綜合題