如圖1，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c交y軸於點A（0，4），交x軸於點B（4，0），點P是拋物線上一動點，試...

問題詳情：

如圖1，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c交y軸於點A（0，4），交x軸於點B（4，0），點P是拋物線上一動點，試過點P作x軸的垂線1，再過點A作1的垂線，垂足為Q，連接AP．

（1）求拋物線的函數表達式和點C的座標；

（2）若△AQP∽△AOC，求點P的橫座標；

（3）如圖2，當點P位於拋物線的對稱軸的右側時，若將△APQ沿AP對摺，點Q的對應點為點Q′，請直接寫出當點Q′落在座標軸上時點P的座標．

【回答】

【解答】解：（1）把A（0，4），B（4，0）分別代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，

∴拋物線解析式為y＝﹣x2+3x+4，

當y＝0時，﹣x2+3x+4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，

∴C（﹣1，0）；

故*為y＝﹣x2+3x+4；（﹣1，0）；

（2）∵△AQP∽△AOC，

∴＝，

∴＝＝＝4，即AQ＝4PQ，

設P（m，﹣m2+3m+4），

∴m＝4|4﹣（﹣m2+3m+4|，即4|m2﹣3m|＝m，

解方程4（m2﹣3m）＝m得m1＝0（捨去），m2＝，此時P點座標為（，）；

解方程4（m2﹣3m）＝﹣m得m1＝0（捨去），m2＝，此時P點座標為（，）；

綜上所述，點P的座標為（，）或（，）；

（3）設P（m，﹣m2+3m+4）（m＞），

當點Q′落在x軸上，延長QP交x軸於H，如圖2，

則PQ＝4﹣（﹣m2+3m+4）＝m2﹣3m，

∵△APQ沿AP對摺，點Q的對應點為點Q'，

∴∠AQ′P＝∠AQP＝90°，AQ′＝AQ＝m，PQ′＝PQ＝m2﹣3m，

∵∠AQ′O＝∠Q′PH，

∴Rt△AOQ′∽Rt△Q′HP，

∴＝，即＝，解得Q′B＝4m﹣12，

∴OQ′＝m﹣（4m﹣12）＝12﹣3m，

在Rt△AOQ′中，42+（12﹣3m）2＝m2，

整理得m2﹣9m+20＝0，解得m1＝4，m2＝5，此時P點座標為（4，0）或（5，﹣6）；

當點Q′落在y軸上，則點A、Q′、P、Q所組成的四邊形為正方形，

∴PQ＝AQ′，

即|m2﹣3m|＝m，

解方程m2﹣3m＝m得m1＝0（捨去），m2＝4，此時P點座標為（4，0）；

解方程m2﹣3m＝﹣m得m1＝0（捨去），m2＝2，此時P點座標為（2，6），

綜上所述，點P的座標為（4，0）或（5，﹣6）或（2，6）

【點評】本題考查了二次函數的綜合題：熟練掌握二次函數圖象上點的座標特徵、二次函數的*質和摺疊的*質；會利用待定係數法求函數解析式；會運用相似三角形的*質進行幾何計算；理解座標與圖形*質．會運用分類討論的思想解決數學問題．

知識點：相似三角形

題型：綜合題